Zadnji u nizu blog postova teksta iz 1996 godine. Cjelokupan tekst može se pogledati ovdje.

1.1 Povijest izvoda

Kad ne bi bilo izvoda (derivacije) svi naši snovi vezani za uspjeh u polju matematike bili bi lako ostvarivi. Matematika bi se bavila samo elementarnim stvarima. Doista, matematika bi se svela na elementarnu matematiku. Kažu da padom jabuke na Newtonovu glavu sve je krenulo drugačije. Ta nesretna jabuka okrenula je Newtona tada ka spoznaji osnovnih zakona dinamike i gravitacije. Newton je za dokaz svojih zakona, povrh siromašnih eksperimenata koje je izvodio, za svoje zakone morao naći matematički aparat da ih dokaže. Otkrićem diferencijalnog i integralnog računa Newton je dokazao svoje zakone, a nama običnim smrtnicima – studentima ostavio jabuke i diferencijalni račun za posvetu.

Mnogi filozofi se spore o tome koliko je jabuka palo na Newtonovu glavu. Veliki dio njih zagovara tezu da je nemoguće da padom samo jedne jabuke opravdava činjenicu Newtonovog djela. Po njihovom mišljenju smatra se da je na Newtonovu glavu palo bar desetak jabuka i to krupnijih koje rastu na vrhu drveta, u malom vremenskom intervalu . Kad ne bi bilo izvoda, čitav ovozemaljski razvoj tehnike i tehnologije sigurno bi bio na stepenu razvoja u Newtonovo doba. Možemo s pravom reći da smo imali sreće. Da nema izvoda sigurno ne bi bilo ni kompjutera, ni video igrica ni flipera. Povrh svih mučnina koje nam zadaje izvod, ipak neka samo postoje kompjuteri i ostalo uz njih, a za izvode ćemo lako – rekao je neko iz mase.

POJMOVI PREKO KOJIH SE DEFINIŠE IZVOD

Da bismo definisali izvod neke funkcije moramo objasniti neke sporedne stvari koje okružuju izvod, a to su:

• Tangenta i konstrukcija tangente

• Srednja i trenutna brzina

1.1.1 Konstrukcija tangente

Definicija tangente u elementarnoj geometriji, koja se radi u osnovnoj školi, definiše tangentu kao jednu pravu koja ima samo jednu zajedničku tačku sa kružnicom. Međutim, ima tu nešto. Tačno je da se radi o jednoj tački i tačno je da se radi o pravoj. Međutim, kada pogledamo iz drugog ugla stvari odnosno sliku 3.1, vidimo kako jedna prava siječe parabolu samo u jednoj tački, ali ova prava nije tangenta date parabole u toj tački. Prava tangenta u toj tački je prava koja je normalna na pravu i prolazi tačkom .

Slika  3.1  Položaj krive, sječice i tangente

Da bi smo došli do valjane definicije tangente uočimo sliku i sve što je na njoj nacrtano. Slika 3.2 sadrži jednu krivu , dvije tačke te pravu koja spaja ove tačke. Vidimo da prava siječe krivu u obliku kriške lubenice te ćemo je nazvati sječica . Kada hoćemo da odsjećemo što manji komad lubenice odnosno krive, mi ćemo postupiti tako da tačkupomjeramo prema tački preko ruba lubenice odnosno krive. Ako se tačka , krijući se, približava tački kriška lubenice će se sve više smanjivati.

Slika  3.2  Sječica

Sječica će se mijenjati u odnosu na početni položaj, i kad tačka teži tački , teži jednom graničnom položaju. Granični položaj sječice upravo će biti tangenta, tj. lubenica će ostati čitava.

Definicija 3.1.

Tangenta krive  u datoj tački zove se granični položaj sječice kada tačka ove krive teži  po krivoj ka tački .

Ako se napravimo Englezi i želimo da ne odsječemo lubenicu tj. da nam tačka teži tački koeficijent smjera krive u tački jednak je koeficijentu smjera tangente krive u toj tački. Sve prethodno rečeno kažimo na jednom drugom (matematičkom) jeziku.

Posmatrajmo sliku, tamo ćemo vidjeti krivu sličnu prošloj krivoj i koordinatni sistem . Ova kriva koju vidimo je grafik neprekidne funkcije . U gornjem dijelu smo kazali da je kojeficijent smjera sječice koja prolazi tačkama koje imaju koordinate, a . Koordinate tačke lako se prepoznaju ako znamo da je odnosno, što se sa slike može vidjeti. Nadalje, znamo da je koeficijent smjera dat izrazom:

(2.1)

Slika  3.3  Sječica

Dakle koeficijent smjera tangente krive u tački jednak je graničnoj vrijednosti količnika priraštaja funkcije i priraštaja argumenta (nezavisno promjenjive ) kad on teži nuli.

Kao i u Poglavlju I (Matematička indukcija) mi definišemo neke sporedne pojmove, nesvjesno dolazimo do onoga čemu ovdje težimo da definišemo – to je prvi izvod funkcije. Zadnja tvrdnja koju smo napisali izraz 2.1 zovemo prvi izvod funkcije ili kraće izvod funkcije , a kojeg obilježavamo sa (čitaj prim jednako prim od ). Dakle prvim izvodom funkcije zovemo:

(2.2)

Na ovaj način smo definisali šta je koeficijent smjera krive u tački, odnosno koeficijent smjera tangente u tački, a istovremeno smo se upoznali sa osnovnom metodom određivanja koeficijenta smjera tangente u datoj tački krive, odnosno vidjeli smo jednostavni postupak konstruisanja tangente.

1.1.2 Srednja i trenutna brzina

Iz fizike nam je dosta stvari jasno kada spomenemo srednju i trenutnu brzin. Kada smo slušali predavanja iz fizike profesori su nam objašnjavali da je srednja brzina količnik priraštaja puta i vremenskog intervala tj. priraštaja vremena za koje je tijelo prešlo put , odnosno:

(2.3)

Znamo da je zakon puta skoro uvijek povezan sa vremenom , pa je . Ako posmatramo priraštaj puta koji je tijelo prešlo za možemo napisati kao , pa nam je srednja brzina jednaka:

(2.4)

S gornjim izrazom uvijek se može izračunati neka srednja brzina koje se u toku nekog vremenskog intervala promijenila više puta. Međutim, ako posmatramo vremenski interval što manji promjene brzine za dati vremenski interval će biti sve manje. Kada pustimo da srednja brzina će postati trenutna:

(2.5)

Trenutna brzina (brzina u trenutku t odnosno je granična vrijednost srednje brzine u vremenskom intervalu kad . Drugim riječima:

(2.6)

I ovdje vidimo da je trenutna brzina kretnja izvod dužine puta po vremenu. Na ovaj način (preko srednje i trenutne brzine) je Newton definisao izvod funkcije pa se čak može reći da je orginalna definicija izvoda upravo definisana preko srednje odnosno trenutne brzine. Možemo s pravom kazati: Izvod je brzina promjene dužine puta po vremenu.

 

1.2 Pojam IzvodA funkcije

Namjernim raspravljanjem o tangenti i srednjoj i trenutnoj brzini odnosno koeficijentu smjera tangente došli smo do pojma izvoda:

(2.7)

Kao i kod definisanja trenutne brzine, u koliko je poznat zakon puta , do pojma izvoda možemo doći bilo kakvim izračunavanjem brzine promjene neke veličine u toku vremena ako je poznat zakon ovisnosti te veličine od vremena.

Definicija 3.2.

Izvod funkcije po argumentu je granična vrijednost količnika priraštaja funkcije i priraštaja argumenta kad priraštaj teži nuli, tj.

Kada govorimo o izvodima često se spominje riječ od 3 slova – diferenciranje. Diferenciranje nije ništa drugo do granični proces kojim se dolazi do izvoda y’ funkcije . Za funkciju koja ima izvod u tački kažemo da je diferencijabilna u toj tački. Kada kažemo da je funkcija direfencijabilna na nekom intervalu to znači da je ista diferencijabilna u svakoj tački intervala.

Vidjeli smo i prije nego smo definisali izvod da ona (kako je na početku rečeno) ima veliku primjenu. Kada krenemo od geometrijske interpretacije izvoda do mehanike, preko fizike i td, sve do kompjutera video-igrica i flipera.

Razmotrimo jednu važnu osobinu izvoda funkcije, a to je diferencijabilnost i neprekidnost. Prije nego smo interpretirali izvod, pretpostavljali smo da nam funkcija mora biti neprekidna. Neprekidnost i diferencijabilnost tvore sljedeću teoremu:

Teorema 3.1.

Ako funkcija definisana na intervalu ima izvod u tački koja pripada tom intervalu odnosno , (odnosno diferencijabilna je u datoj tački), tada je ona i neprekidna.

Dokaz:

Pretpostavka teoreme je da je funkcija diferencijabilna u tački tj. postoji . Ako nam je , tada možemo pisati: Sada imamo, ako primijenimo granični proces na zadnji izraz: Dakle, kada , tada . To znači da diferencijabilna funkcija je istovremeno i neprekidna u datoj tački.

Ovo je jedan od najvažnijih teorema koji se tiče Izvoda funkcije. Jednostavno bez ovog teorema ne bi smo mogli tako jednostavno “šetati” područjem izvoda. Gotovo kod svakog zadatka koji se tiče izvoda neke funkcije koristi se ovaj teorem.

Ako bi se pitali da li važi obrnut teorem, tj. da li je funkcija diferencijabilna ako je neprekidna, odgovor na ovo pitanje bio bi “NE”. Prije nego dokažemo ovaj teorem pročitajte sljedeću napomenu.

Teorema 3.2.

Da li važi obrnut teorem prethodne Teoreme 2.1.

Dokaz:

Ovaj teorem ćemo dokazati navođenjem samo jednog primjera koji govori o tome da obrat ne važi. Posmatrajmo funkciju . Ta funkcija je neprekidna na čitavom intervalu realnih brojeva. Graf funkcije daje je na slici 2.3. Sa slike se može vidjeti da jea . Iz zadnjih izraza vidimo da je granična vrijednost količnika za lijevu i desnu graničnu vrijednost po argumentu različita, što znači da derivacija funkcije u tački nema jedinstven izvod. Drugim riječima funkcija u tački nije diferencijabilna. Dokaz teoreme je završen.

Slika  3.4  Grafik funkcije .

Na osnovu prethodne dvije teoreme zaključujemo: svaka diferencijabilna funkcija ujedno je i neprekidna, dok svaka neprekidna funkcija nije uvijek i diferencijabilna. Pojam diferencijabilnosti je uži pojam od pojma neprekidnosti.