Nastavak prethodnog posta o matematičkoj indukciji…..  Cjelokupan tekst može se pogledati ovdje.

Zadatak 2: Dokazati da za svaki prirodan broj n vrijedi:

dijeljivo sa 7.

Dokaz: Prvi korak napravimo na brzinu jer jedino je to ovdje shvatljivo.

Za n=1, , djeljivo sa 7

Za n=2, , djeljivo sa 7.

Pretpostavimo da je Zadatak 2, za neki prirodan broj n=k (k>n₀) dijeljiv sa 7. To znači slično kao i u primjeru da možemo pisati:

—–(13)

Treći korak sprovodimo kao u primjeru 2:

Vidimo da je izraz u zagradi ona ista pretpostavka sa pročetka primjera jednačina (13), pa je ona dijeljiva sa 7, a broj 35 je svakako dijeljiv sa 7 pa cijeli izraz je dijeljiv sa 7.

Vidimo da iz pretpostavke za n=k, broj djeljiv sa 7, dokazali smo da je za n=k+1 takodjer djeljivo sa 7 to znači da je izraz djeljiv za 7 za svaki prirodan broj.

Vidljivo je da smo dokazali neke primjere i zadatke pomoću matematičke indukcije dosta jednostavno. Međutim ostali zadaci koji dati nisu ništa zahtjevniji od ovih. Jedino je problem u tome što idući zadaci zahtijevaju malo više poznavanja elementarne matematike. To je ona matematika koju ste radili u Osnovnoj i srednjoj školi. Znači bez straha i bilo kakvih averzija okrenite siljedeći list i naići ćete na najljepši zadataka u matematičkoj indukciji. Sljedeći zadatak je bio MISS Ljeta 1888 godine, njegove prve i druge pratilje slijede iza njega.

Zadatak 3: Dokazati da vrijedi za svaki prirodan broj:

Rješenje:

Za n=1,

tačno.

Za n=2,

tačno.

Pretpostavimo da zadatak 3 vrijedi za n=k, odnosno:

Poznato vam je da uvijek kod ovakvih zadataka u trećem koraku uvijek dodajemo objema stranama sljedeći broj zadnjeg broja lijeve strane. S toga imamo:

U zadatku 1 smo diskutovali o sljedećem broju nepranih brojeva. Sljedeći broj broja 2k+1 je 2k+3, jer je 2(k+1)+1= 2k+3. Zadnja jednakost (16) znači da smo iz pretpostavke (15) vrijedni za n=k, dokazali da vrijedi i za n= k+1, pa zaključujemo po matematičkoj indukciji da Zadataka 3 vrijedni za sve prirodne brojeve.

Do jednakosti (13) iz jednakosti (12) lako smo došli iako se nekima čini da nije. Ove sve k-ove koje vidite u zadnjim jednakostima, to je u stvari samo jedan k, ali napisan u drugim oblicima.

Ako bolje pogledate sve one transformacije vidjećete da se one sastoje samo u sabiranju razlomaka, izvlačenju zajedničkih množitelja i nekoliko dvica, trica i šestica.

Zadatak 4: Dokazati da vrijedi za svaki prirodan broj:

Rješenje:

Za n=1,

tačno.

Za n=2,

tačno.

Pretpostavimo da zadatak 4 vrijedi za neki prirodan broj k, odnosno:

Korak 3 koji slijedi sličan je kao i u zadatku 3, tj. dodajmo objema stranama pa imamo:

Vidimo da uz prepostavku za n=k, izraz vrijedi i za n=k+1, s toga i za svaki prirodan broj.

Zadatak 5: Dokazati da vrijedi za svaki prirodan broj:

Rješenje:

Za n=1,

tačno.

Za n=2,

tačno.

Pretpostavimo da jednakost vrijedi za neki n=k,tj.

Sada kada smo napisali pretpostavku po ko zna koji put moramo dodati sljedeći broj broja k(k+1), a to je (k+1)(k+2), pa imamo:

Vidimo da smo iz pretpostavke da vrijedi za n=k, dokazali da zadnja jednakost vrijedi i za n=k+1, što znači da vrijedi i za svaki prirodan broj n.

Zadatak 6: Dokazati da je za svaki prirodan broj, broj:

djeljivo sa 9.

Rješenje:

Za n=1,

dijeljivo sa 9.

Za n=2,

dijeljivo sa 9.

Pretpostavimo da je za n=k, izraz (15) dijeljiv sa 9. To možemo pisati kao:

Za n=k+1, imamo:

Ponovo vidimo da koristeći pretpostavku lako dokazujemo da nam izraz (15) dijeljiv sa 9, za svaki prirodan broj. Sve to nam omogućuje matematička indukcija. Bez nje ne bismo lako dokazali ne samo ovaj zadatak. Zato s pravom moramo reći: Hvala ti hvala draga naša indukcijo.

Zadatak 7: Dokazati da za svaki prirodan broj broj:

dijeljiv sa 10.

Dokaz:

Za n=1,

dijeljivo sa 10.

Za n=2,

dijeljivo sa 10.

Pretpostavimo da je za n=k, izraz (16) dijeljiv sa 10. To možemo pisati kao:

Za n=k+1, imamo:

Vidimo da iz prtpostavke za n=k lako dokazujemo da (16) vrijedi za n=k+1, odnosno da vrijedi za svaki prirodan broj.

Zadatak 8: Dokazati da za svaki prirodan broj broj:

dijeljiv sa 5.

Dokaz:

Za n=1,

dijeljivo sa 5.

Za n=2,

dijeljivo sa 5.

Pretpostavimo da je za n=k, izraz (18) dijeljiv sa 5. To možemo pisati kao:

Za n=k+1 imamo:

Jednostavnim dokazom, uz pomoć pretpostavke, dokazali smo da izraz (18) vrijedi za k=k+1, pa nam zbog matematičke indukcije v ijedi za svaki prirodan broj. Glavni šablon ovog tipa zadataka (o djeljivosti ) je da kada se radi treći korak u eksponentu ostavi onoliko koliko ima u pretpostavci, a višak se spusti kao množitelj. Taj množitelj izvlačimo ispred zagrade dok u zagradi stavljamo samo ono što je u pretpostavci. Dakle mi se bi „naštimamo“ pretpostavku a sve ono što moramo oduzeti ili dokazati stavljamo iza zagrade. Nije slučajno da sav višak uvijek bude djeljiv sa onim brojm za kojeg ga mi provjeravamo.

Treći česti slučaj tipova zadataka koji se dokazuju matematičkom indukcijom su nejednakosti. One su još jednostavnije, a sve se bazira na tome da ako je npr. 150 > 50, tada je i 200>50, odnosno 150 >1.

Prije nego to pređemo na zadatke uvedimo pojam Leme.

Lema je pomoćna teorema. Odnosno to je jedan mali podzadatak nekog zadatka. Ako rješavamo neki zadatak i dođemo do jedne tvrdnje koju moramo posebno dokazivati mi je definišemo kao lemu.

Zadatak 9: Dokazati da za svaki prirodan broj n,gdje je vrijedi nejednakost:

Dokaz: Pošto ovaj zadatak dokazujemo pomoću matematičke indukcije onda se moramo držati njenih postavki i redoslijeda. Što znači da prvo moramo provjeriti da li ta nejednakost vrijedi za prvih nekoliko prirodnih brojeva. Uslov zadatka na kaže da provjerimo od 5 pa dalje.

Za n=5,

Nejednakost je tačna.

Za n=6,

Nejednakost je tačna.

Dokažimo Lemu koja kaže:

Lema 1: Za svaki m>2 izraz

Dokaz:

Ovu lemu također ćemo dokazati matematičkom indukcijom.

Za n=3,

Tvrdnja je tačna.

Za n=4,

Tvrdnja je tačna.

Neka je za neki m=l (l>2) vrijedi:

Za m=l+1 imamo:

Zadnja nejednakost koju smo dobili je očigledna. Jer je l>2 pa svaki kvadrat je većiod dva.

AKosada tu trivijalnu nejednakost stavimo kao prvu i krenemo unazada doći ćemo do nekednakosti (21), što znači da je nejednakost tačna. Znači po principu matematičke indukcije Lema 1 je tačna za sve prirodne brojeve veće od 2.

Lemu 1 možemo koristiti kao dokazni materijal u sve i jednom sadašnjem i budućem zadatku.

Nastavimo rješavanje zadatka 9. Ostao nam je treči korak pa sada imamo:

Za n=k+1 imamo:

Maloprije smo dokazali da nam je:

Ako sada lijevoj i desnoj strani (Leme 1) dodamo broj imamo:

Sada stupa na scenu naša pretpostavka (kada je pomnožimosa 2) koja kaže da je:

Pomnožimo je sa 2 imamo:

Pa je:

odnosno,

Vidimo das mo i ne znajući dokazali da je iz pretpostavke za n=k nejednakost vrijedi za n=k+1, što nam je potrebno I dovoljno da kažemo da nejednakost vrijedi za svaki prirodan broj.

Ako neko čitajući ovo rješenje zadatka 9, nije shvatio posljednje nejednakosti, predlažem da pročita mali uvod o dokazivanju nejednakosti I obrati pažnju na činjenicu da ako je npr: 150>50 tada je 200>50 odnosno 150 >1.

Zadatak 10: Dokazati da za svaki prirodan broj veći ili jednak od 5 vrijedi nejednakost:

Rješenje:

Za n=5,

Nejednakost je tačna.

Za n=6,

Nejednakost je tačna.

Pretpostavimo da je za neki n=k , vrijedi:

Koristeći ovu pretpostavku (22), te koristeći nejednakost da je , što je očigledno jer je: , dobijamo treći korak odnosno dokaza ćemo treći korak a samim tim i zadatak 11.

Dakle,

Sabiranjem gornjih nejednakosti imamo:

Odnosno sređivanjem:

Zadnjim izrazom da nejednakost vrijedi i za n= k+1. Zadnje nejednakosti daju nam zaključiti ako imamo na umu matematičku indukciju da izraz (22) vrijedi za svaki prirodan broj

Zadatak 11: Dokazati da za svaki prirodan broj vrijedi nejednakost:

Rješenje:

Za n=2 imamo:

Za prvi prirodan broj za koji treba dokazati da vrijedi nejednakost (23) imamo izraz (24). Kod deduktivnog načina dokazivanja nejednakosti (kojeg ćemo sada primjeniti) trebamoiz polazne nejednakosti (24) nizom matematičkih dozvoljenih operacija doći do trivijalne nejednakosti koju lako primjećujemo čak i kad te brojeve zamijenimo sa kruškama i jabukama.

Pokušajmo to sa nejednakosti (24):

Sabiranjem lijeve strane:

Pomnožimo cijelu nejednakost sa .

Odnosno:

Sada smodošli do jedne trivijalno-očigledne nejednakosti, gdje u svaka doba dana i noći znamo daje , što znači da je izraz (23) tačan za n=2.

Za n=3 imamo:

Istim postupkom kao i za n=2 imamo:

Sabiranjem lijeve strane:

Množenjem sa imamo:

Kvadriranjem cijele nejednačine:

U svako doba dana i noći mi znamo da nam je pozitivno i uvijek veće od bilo kojeg negativnog broja, što znači da je izraz (25) tačan.

Pretpostavimo da je za neki n=k izraz (23) tačan, tj:

Na tako pretpostavljenu nejednakost dodajmo k+1.-vi član. Imamo:

Dokažimo sada da je:

Ostavljanjem samo na lijevoj strani a ostatak prebacimo na desnu imamo:

Pa je:

Množenjem sa imamo:

Kvadriranjem cijele nejednakosti imamo:

Odnosno:

Odnosno:

Što vrijedi za svaki prirodan broj pa i polazna nejednakost. Ako sada ovu dokazanu nejednakost primjenimo na (27) imamo:

Odnosno

Pa zaključujemo da smo preko pretpostavke (26) došli do zaključka da (23) vrijedi za svaki prirodan broj.

Vidjeli smo kako se rješavaju nejednačine preko matematičke indukcije. U biti sve se svodi na pomenutu nejednakost akoje 150>50 tada je i200>50 tj. 150>1.